近日，數學系教師潘會平博士及其合作者Valentina Disarlo (海德堡大學)、Anja Randecker(海德堡大學)、Robert Tang(西交利物浦大學)的論文“Large-scale geometry of the saddle connection graph”在Transactions of the American Mathematical Society接受發表。該期刊是美國數學會旗下的綜合性研究期刊，接收來自基礎數學與應用數學各個方向的研究論文，每年大約發表300篇。

如果将A4紙沿着對邊粘起來，所得到的圖形被稱為環面。這是“平坦曲面”這一類幾何結構中的特殊例子。本文研究的馬鞍線圖(the saddle connection graph)就是基于平坦曲面所構造的一個幾何結構。在前一階段的研究中，潘會平與Disarlo-Randecker-Tang各自證明了等距剛性定理。也就是說我們可以将馬鞍線圖看成平坦曲面的“身份證”，每一個平坦曲面有且隻有唯一一個馬鞍線圖與之相對應。 在最近的研究中，潘會平與V. Disarlo、A. Randecker、R. Tang合作考慮了馬鞍線圖的拟等距問題，也就是所謂的“大尺度幾何”或者“宏觀幾何”。他們證明了所有的馬鞍線圖在大尺度下都是相同的。因此，在大尺度下，馬鞍線圖不足以區分平移結構。

關于等距與拟等距的區别，研究人員認為可以這樣理解：對于等距問題，是用放大鏡來觀察所要研究的幾何結構的每一處細節;而對于拟等距問題(或者說大尺度幾何)，是用天文望遠鏡來進行宏觀層面的觀察。

馬鞍線圖的研究背景來源于拓撲曲面上的曲線圖與弧線圖。關于曲線圖與弧線圖本身的研究、以及它們在曲面映射類群與三維流形研究中的應用，目前均已比較成熟。上述剛性定理對于這兩者都是成立的。而與馬鞍線圖不同之處在于，即使是在大尺度或者宏觀尺度之下，不同拓撲曲面對應的曲線圖也是彼此不同的。因此，曲面之拓撲結構對應的“圖”與曲面之平坦結構對應的“圖”有着本質性的區别。

該研究資助來源于國家自然科學基金青年基金項目(NSFC 11901241)以及太阳集团app首页科研啟動基金。

潘會平簡介

潘會平：2011年本科畢業于華南理工大學微電子專業，2016年博士畢業于中山大學基礎數學專業，之後于2016-2018年在複旦大學做博士後研究，2018年7月來校工作至今。研究興趣(方向)比較廣泛，主要集中在與曲面相關的領域，例如複分析(泰西米勒理論)、低維幾何拓撲、幾何群論、以及群上的随機遊走。相關研究論文在Mathematische Annalen、Transactions of the American Mathematical Society、International Mathematics Research Notices等期刊發表或者接受發表。教學上，目前已講授過的課程包括實變函數、複變函數、泛函分析、微積分。